Wyprowadzenie ogólnego wzoru na rate kredytu hipotecznego oraz składową kapitałową i odsetkową dla okresu l dla raty stałej.
Github nie bardzo chce renderowac LateX - wersja jpg
N - kwota kredytu
n - liczba miesiecy
r - roczna stopa procentowa
R - rata miesieczna
c - czesc kapitalowa raty
I - czesc odsetkowa raty
z_i - zadluzenie w miesiacu
z_0 = N
z_1 = z_0 \times (1+\frac{r}{12}) - R \xrightarrow[]{q = 1 + \frac{r}{12}} z_0 \times q - R
z_2 = z_1 \times q - R
\vdots
z_n = z*{n-1}\times q - R = N \times q^n - R \times (q^{n-1} + q^n + \ldots + q + 1)
Gdzie czynnik q^{n-1} + q^n + \ldots + q + 1 to ciag geometryczny
Dodatkowo wazne podstawienie uzywane w kolejnych krokach q = 1 + \frac{r}{12} określa oprocentowanie jednorazowe przy zalozeniu rozliczania miesiecznego.
poniewaz zadłużenie w kroku n wynosi 0
z_n = 0 = N \times q^n - R \times \frac{q^n-1}{q-1}\\
z powyzszego mozna wyprowadzic wzor na rate kredytu \boxed{R = N \times q^n \times \frac{q-1}{q^n-1}} \\ R = c + I
czesc kapitalowa moze byc wyliczona jako roznica kolejnych zadluzen
c_0=0\\ c_1=z_0-z_1\\ \vdots \\ c_l=z\times {l-1} - z_l\\
i dalej
c\times l = z\times{l-1} - z_l = N\times q^{l-1}-R\frac{q^{l-1}-1}{q-1} - N\times q^l-R\frac{q^l-1}{q-1}
c_l = N\times (q^{l-1} - q^l)-R\times (\frac{q^{l-1}-1}{q-1} - \frac{q^l-1}{q-1})
c_l =N\times (q^{l-1}-q^l) - R\times (\frac{q^{l-1}-q^l}{q-1})
c_l = (q^{l-1}-q^l)\times (N - R\times \frac{1}{q-1})
podstawiajac R mamy
c_l = (q^{l-1}-q^l)\times \big(N - (\frac{N\times q^n\times(q-1)}{q^n-1}\times\frac{1}{q-1}) \big)
c_l = (q^{l-1}-q^l)\times \big( N \times (1 - \frac{q^n}{q^n-1} ) \big)
c_l = N\times(q^{l-1}-q^l)\times \big( \frac{-1}{q^n-1} \big) \\
Ostatecznie mamy czesc kapitalowa i odsetkowa dla raty R w miesiacu l
\boxed{c_l = N\times\frac{q^l - q^{l-1}}{q^n-1}}\\
\boxed{I_l = R - c_l}
\rule{2cm}{0.4pt}
Wyznaczenie okresu spłaty przy nadpłacie.
Zakładając jednorazową nadpłatę przy jednoczesnym zachowaniu wysokości raty ile czasu potrzeba na spłatę zobowiązania.
N' - kwota kredytu po nadpłacie
R' = R - rata miesieczna
n' - liczba miesiecy wymagana do spłaty N'
Wychodząc od wzoru na wysokość raty mozemy wyznaczyć n'
R = R' = N' \times q^{n'} \times \frac{q-1}{q^{n'}-1}
R\times(q^{n'}-1) = N'\times q^{n'}\times (q-1) \\
porządkując względem
q^{n'} = \frac{R}{R - N'\times(q-1)}
\boxed{ n' = \log\_{q}{\frac{R}{R - N'\times(q-1)}} }
Dla obliczeń korzystając z tozsamosci $_a b = $
n' = \ln{ \left[{ R\times \left({R - N'\times \left(q-1\right)}\right)^{-1}}\right] } \times \ln^{-1}{q}
\rule{2cm}{0.4pt}
Materiały:
Math Tex online:
